Publicado el por Libros para Estudiar y Enseñar Matematicas

Herramientas para el análisis de una lección de Geometría

Ángel Míguez

Al analizar una lección, un libro de texto o cualquier otro material curricular en Matemática, la pauta más común que orienta a los docentes, en esta labor, es la concepción que los mismos poseen sobre cómo se aprende la Matemática, que a la vez, refleja cómo la enseñan. Por tanto, la evaluación estará sesgada por esa concepción que orienta su acción en el aula de matemática.

Varios autores, Parcerisa (1 996), García-Rodeja (1 997) y Güemes (2 001), señalan que los procesos de enseñanza-aprendizaje están mediatizados o influenciados por los libros de texto y demás materiales curriculares, es más, señalan que modelan la puesta en práctica curricular.

La experiencia empírica, en el caso venezolano, nos dice que la formación recibida por el docente (tanto en la educación básica y media, como en la formación inicial pedagógica) juega un rol estelar en la evaluación que los educadores hacen de una lección o libro de texto.

Además, señala Lacueva (1 979) “El texto es la única o casi la única fuente de información para el niño y el maestro…”, esto acompañado por el hecho de que los libros de matemática más vendidos, en opinión de varias librerías consultadas en Caracas, son los de E. Navarro y A. Baldor, libros en los que el énfasis se centra en la ejercitación, en la repetición sostenida de algoritmos con el reforzamiento de la respuesta correcta, nos ubica ante una realidad, estamos dominados por la concepción conductista del aprendizaje en la enseñanza de la Matemática. Es decir, ejercicios y más ejercicios, hasta dominar el algoritmo, o “rutinizar” la respuesta esperada (correcta).

En el caso de la Geometría la situación es idéntica o peor, si consideramos los resultados arrojados por el Sistema Nacional de Medición y Evaluación de los Aprendizajes (SINEA) en los estudios realizados en el año 1 998. Se pudiera hablar de una geometría descontextualizada donde el énfasis se hace en el cálculo de áreas y perímetros y la destreza que deben desarrollar los estudiantes en la educación básica (7-12 años), se limita a reconocer la figura y la “fórmula” correspondiente asociada a dicha figura, igual se hace con algunos cuerpos y el cálculo de su volumen. En el nivel medio (13-17 años) se introducen algunos teoremas y propiedades que se deben memorizar sin tener una idea cierta de la utilidad de los mismos en contextos específicos diferentes a los escolares.

Ante lo expuesto, consideramos útil, para el docente que desea dar un enfoque novedoso a sus clases de geometría, ofrecer herramientas (criterios) que le permitan analizar las lecciones de geometría y que al mismo tiempo le sirvan para planificar y desarrollar clases bajo una nueva concepción del aprendizaje.

  1. Los Niveles de Van Hiele y la concepción de aprendizaje de la Geometría

El aprendizaje de la geometría requiere de un proceso de maduración, y esto lo entendieron así los esposos Dina y Pierre Van Hiele quienes luego de revisar las dificultades que se le presentaban a sus estudiantes en el aprendizaje de la geometría definieron cuatro niveles de entendimiento de las nociones y relaciones geométricas: Visualización – Reconocimiento, Análisis, Clasificación y Deducción Formal. Igual importancia le dieron al método y organización de la instrucción por lo que propusieron cinco fases secuenciales para el aprendizaje de la geometría: Información, Orientación Dirigida, Explicación, Orientación Libre e Integración.

Esta sola estructuración de los niveles de comprensión de la geometría y las fases de su aprendizaje revelan una concepción de cómo enseñar para que el estudiante aprenda. Pasemos a caracterizar los elementos señalados:

Niveles Secuenciales de Comprensión de la Geometría (Niveles de Van Hiele)

Visualización – Reconocimiento: Es el nivel en que las figuras y cuerpos geométricos son reconocidos por su forma como un todo, por su apariencia, no por sus partes y propiedades, se limita a descripciones. En este nivel la persona puede aprender un vocabulario geométrico, identificar formas definidas y reproducir una figura.

Análisis: En este nivel se comienza a discernir las características definitorias de cuerpos y figuras geométricas. Las propiedades que surgen se usan para la conceptualización de las formas, se identifican partes y se usan para su clasificación. Se comienza a realizar generalizaciones de clases de formas.

Clasificación: Las personas que alcanzan este nivel pueden establecer interrelaciones entre los elementos definitorios de un cuerpo o figura (Relaciones entre lados y ángulos) y la que existen entre figuras (Cuadrados – Rombos – Rectángulos). Deducen propiedades de las figuras, reconocen clases de cuerpos y figuras y son capaces de entender relaciones de inclusión entre estas clases.

Deducción Formal: En este nivel se entiende lo que es una deducción, se comienza a ver a la geometría como un sistema de axiomas, postulados, definiciones y teoremas. Aquí la persona entiende y construye una demostración, entiende el rol que juegan las condiciones necesarias y suficientes y distingue una afirmación de su recíproca. Puede llegar a un mismo resultado por distintos caminos. Comprende la estructura axiomática de la matemática.

Fases Sucesivas de Aprendizaje de la Geometría

Información: En esta fase se informa a los estudiantes del tema, los objetivos de estudio, se hacen observaciones, se plantean interrogantes y se introduce el vocabulario específico.

Orientación Dirigida: Está referida a la investigación, exploración, de conocimientos principalmente por parte de los alumnos y que el docente a organizado. En esta fase se construye la red mental que permitirá relacionar los conocimientos posteriormente. Se usa material manipulable en tareas breves para lograr respuestas específicas.

Explicación: Se refiere a la presentación y comparación de datos y conocimientos obtenidos entre el grupo. En este punto es importante que existan puntos de vista diferentes, y quizá divergentes, dentro del alumnado, ya que esto dará una mayor riqueza al mismo grupo y, al mismo tiempo, hará que el estudiante analice sus ideas, las ordene y las exprese con claridad. Aquí se hacen explícitas las características, relaciones y definiciones adecuadas al nivel de comprensión.

Orientación Libre: Es la fase enfocada principalmente a la aplicación de los conocimientos adquiridos en las fases anteriores y su interrelación y aplicación junto con otros conocimientos ya adquiridos. Los estudiantes se enfrentan a tareas más complejas. El estudiante se encuentra con sus maneras de hacer las cosas contrastándolas con los conocimientos adquiridos.

Integración: Esta fase se refiere a la acumulación, síntesis y comparación de conocimientos que se han adquirido, tratando de tomar conciencia en el uso de elementos implícitos de éstos. El docente ayuda a consolidar los conocimientos, dando una perspectiva global sobre lo aprendido por el estudiante y preparándolo para pasar a un nuevo nivel.

  1. Criterios de análisis de la estructura de una lección de geometría

¿Cuál estructura debe tener una lección de Geometría? La respuesta a esta pregunta estará directamente vinculada a la concepción de aprendizaje de la Geometría. Consideramos que, en el caso venezolano, se debe hacer énfasis en el uso de material manipulable como mecanismo de exploración y descubrimiento de las características y propiedades de los cuerpos y figuras geométricas.

Además, como plantea Crowley (2 002), debe ser secuencial, de lo más sencillo (reconocimiento de figuras) a lo más complejo (deducir propiedades de las figuras y clasificarlas), no sólo en la manipulación de las figuras y cuerpos, sino en el correcto uso del lenguaje y la simbología, de acuerdo al nivel de los estudiantes.

No debe ser discriminativo, es decir, debe considerar en cada paso que hay estudiantes que pueden estar a diferentes niveles de acuerdo con lo pautado por los esposos Van Hiele.

Para ello proponemos una estructuración de la lección que integre la posibilidad que el estudiante la pueda usar en clase o en la casa, respetando las fases de aprendizaje de la geometría propuesta por los esposos Van Hiele.

  1. Identificación y título

La identificación debe orientar al estudiante. Aunque es un elemento formal, el título debe reflejar lo esencial del tema a abordar, con el fin de facilitar la ubicación y posterior lectura del tema por parte del estudiante. Además, ayuda a la construcción de una clasificación dentro de los temas de geometría.

  1. Objetivos

Deben ser claros y explícitos. Deben construirse de forma que faciliten la discusión en clase sobre lo que se quiere lograr, esto en correspondencia con la Fase 1 Información.

  1. Esquema conceptual – procedimental de la lección.

El esquema o mapa conceptual sirve de índice de los elementos, segmentos o apartados que se abordarán que contribuye a dar una visión de conjunto sobre el tema, también orienta al estudiante en los casos que quiere repasar aspectos específicos de la lección. En el caso de geometría es útil incluir los elementos procedimentales que son vitales a la hora de las actividades de evaluación.

  1. Introducción, motivación y/o aplicación

La introducción debe convertirse en un puente cognitivo entre la nueva información y los procedimientos y conceptos previos necesarios para la asimilación de todo lo nuevo; debe darle coherencia al tema que se abordará con el resto de los temas abordados en el módulo, unidad o libro de texto, debe ser motivante y fomentar la curiosidad. También, en el caso de geometría, debe aprovecharse la introducción al tema para hacer consideraciones de carácter histórico o para evitar que el lector perciba el tema extremadamente abstracto, lejano a la realidad o a sus intereses. De igual manera, pudiera sustituirse o complementarse la reseña histórica por una aplicación conocida o propia de algún campo profesional conocido por el estudiante.

  1. Importancia del estudio del tópico particular. Contextualización según la carrera de estudios. Historia

Según el tema a abordar, algunos de estos tres elementos o una combinación adecuada de ellos pueden estar presentes. Recordemos lo planteado por Corral, A., et al (1 987), y aquí somos redundantes, el libro de texto debe simular la actividad del docente de aula cuando “motiva y estimula con detalles históricos – epistemológicos y aspectos prácticos el estudio de las materias objeto del programa”. En el caso de la geometría esto permitirá al estudiante comprender la imbricación de este tema dentro de los otros que ha estudiado y los que estudiará a continuación.

  1. Definición, Explicación de los conceptos y de los procedimientos

Es el elemento en el cual se desarrollan las bases conceptuales (conceptos, definiciones, axiomas o teoremas) del tema a trabajar en la actividad de aprendizaje y se establecen o deducen los procedimientos o algoritmos que permiten operacionalizar los asuntos tratados en el tema. Aquí es donde, en nuestro parecer, la lección tiene un gran reto y es el de generar redundancia, tanta como la que genera el docente en el aula al tratar un tema en particular, vinculándola con los conocimientos previos, no sólo haciendo mención de los tópicos tratados.

  1. Ejemplificaciones de los conceptos y de los procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados según la carrera de estudios

Los ejemplos son los elementos en el que se muestra el correcto uso de los procedimientos o algoritmos de acuerdo al contexto de aplicación, bien sea la situación planteada real o construida ad hoc. Es el escenario que permite la comprensión conceptual vista desde el punto de vista práctico. En geometría son el eslabón indispensable en la comprensión de las definiciones y conceptos.

  1. Actividades Orientadas con especificación para desarrollarlos en forma individual y en grupos

Cualquier actividad, que promueva las fases de aprendizaje propuesta por los esposos Van Hiele, debe promover en el lector un estudio activo y comprensivo. Lo que debe estudiarse, acorde con las características propias del tema estudiado y de las características particulares de los estudiantes, es la promoción de actividades grupales entre estudiantes.

  1. Ejercitación de los conceptos y de los procedimientos, tanto en abstracto como contextualizados según la carrera de estudios

Los Ejercicios Propuestos en geometría, contextualizados o no, son una herramienta que permite que el estudiante verifique su claridad conceptual y su destreza procedimental. Lo que se debe cuidar es la oportunidad y la profundidad de los mismos en el desarrollo de cada una de las partes de la lección.

  1. Problemas clásicos y actuales en consideración de la historia y la carrera de estudios

Un problema es una situación real o ficticia que reta tu comprensión conceptual, y no solamente los conocimientos de un tema tratado en la lección, exige una reestructuración en la manera de abordar la situación planteada, de los límites de los procedimientos conocidos, que busca generar conexiones sobre conocimientos variados. Un problema no tiene condición temporal, se puede resolver rápidamente, o no conseguírsele nunca su solución. (Míguez, 2 000).

Hay en la geometría problemas clásicos, así como problemas que son característicos de alguna profesión o actividad cotidiana y que son imprescindibles en la formación básica. De igual manera, existen problemas tipo acertijo o reto que permiten la clarificación de algún detalle conceptual o la precisión de un procedimiento específico.

  1. Preguntas que obliguen a la síntesis conceptual y procedimental, a la estructuración con conceptos y procedimientos previos

Es el elemento en el que se le exige al aprendiz poner a prueba sus conocimientos y, por qué no, sus habilidades matemáticas, permitiéndole a su vez la precisión, el desarrollo y la consolidación de los mismos. Obligándolo a hacer una síntesis de su aprendizaje.

  1. Preguntas para investigar y profundizar sobre aspectos estudiados con una referencia bibliografía preestablecida y al alcance del estudiante

Si bien, por razones de economía, no se pueden desarrollar en los libros de texto y en las lecciones, todos los enfoques o perspectivas sobre un mismo tema, podemos desarrollar actividades de investigación obligatorias u opcionales para que el estudiante amplia sus nociones y visiones sobre el tema tratado. Permitimos así que el estudiante aprenda al ritmo que pauten sus intereses y necesidades.

  1. Actividades de autoevaluación

En el caso de geometría las actividades de autoevaluación deben ser tan diversas como las actividades plasmadas en la lección, deben hacer énfasis en lo conceptual, lo procedimental y en su aplicabilidad, debe reflejar las prioridades que se usarán para la evaluación final del estudiante.

  1. Esquema resumen de la lección

Este elemento es el equivalente a la clase de cierre del docente antes de la actividad de evaluación, donde sintetiza los elementos clave estudiados, puntualizando conceptos, definiciones, teoremas, así como los principales procedimientos o algoritmos estudiados, debe funcionar como el pretest que le indica al estudiante que le falta por aprender, comprender o desarrollar.

  1. Respuestas y/o esquemas de resolución a todos los ejercicios, problemas, preguntas y actividades propuestas

En Educación es imprescindible la realimentación sobre el desempeño del estudiante. Es por esto que la importancia de ofrecerle al estudiante, no sólo la respuesta correcta a una pregunta o ejercicio, problema o cualquier otro tipo de actividad propuesta, sino en algunos casos, el procedimiento de resolución paso a paso, es más, en aquellos casos que lo amerite, más de una forma de resolución correcta, que permita rememorar la actividad de pasar a la pizarra y ver cómo lo resolvió mi otro compañero. Además, permite al estudiante aprender de sus propios errores.

El análisis de la lección de geometría

Repetimos aquí lo señalado anteriormente, el análisis de una lección estará sesgado por la concepción de aprendizaje de la Geometría que tenga la persona que lo va a realizar. A continuación presentamos un esquema con los aspectos a considerar, en la evaluación, a la luz de los criterios expuestos con anterioridad.

Abordaje del Contenido de Geometría

Tomando como referencia los Niveles de Van Hiele hay cuatro procesos clave que se deben observar en toda lección de geometría y que su predominancia o peso vendrá dado por el nivel en el que se sitúe la lección.

  1. Identificación de cuerpos y figuras geométricas.

  2. Lectura, comprensión y construcción de definiciones de conceptos geométricos.

  3. Clasificación exclusiva o inclusiva de familias de cuerpos o de figuras geométricas.

  4. Pruebas o Demostraciones.

A cada uno de estos procesos podemos asociar ítemes que orienten el análisis:

    • Las actividades contribuyen al reconocimiento de las propiedades de cuerpos y figuras

    • Promueve o propone estrategias para el reconocimiento de las propiedades de cuerpos y figuras

    • Las actividades promueven el uso de las definiciones estudiadas en el texto

    • Las definiciones enuncian propiedades necesarias y suficientes

    • Se involucra al estudiante en la formulación de definiciones

    • Se presentan actividades que obliguen a la clasificación de cuerpos y figuras con base en las propiedades definidas

    • Se proponen actividades de verificación de las propiedades

    • Se incita a la indagación de propiedades o su generalización

    • Se le exige a los estudiantes sustentar sus respuestas a ejercicios y problemas

Otro elemento importante en el abordaje del contenido de la lección de geometría es el referido a como se hace transitar al estudiante por las fases de aprendizaje y tienen que ver con cómo se secuencian las actividades. Igualmente, los siguientes ítemes pueden orientar el análisis al respecto:

    • Al comienzo de la lección se plantea el tipo de trabajo a desarrollar

    • Promueve el descubrimiento, la indagación y la especulación racional de propiedades y definiciones

    • Promueve el intercambio de experiencias

    • Incita la justificación de las opiniones y especulaciones formuladas por el estudiante

    • Se promueve la resolución de problemas de variadas formas, basados en situaciones nuevas y abiertas

    • Propone actividades de síntesis e integración de lo estudiado

Organización del Contenido de Geometría

En su trabajo González (2 002), propone una clasificación de los criterios de análisis de la estructura de una lección de geometría, el cual yo he adaptado de la siguiente manera:

Clasificación

Caracterización

N° del Criterio

Esencial

Criterios imprescindibles, cuya ausencia descalifica la lección

1, 6, 7, 9, 10, 11, 12

Deseable

Criterios que fortalecen la lección, su ausencia resta calidad a la misma

4, 8, 13, 14, 15

Complementario

Criterios que contribuyen a la calidad de la lección, aun cuando su ausencia no afecta el contenido sustancial de la misma

2, 3, 5

El análisis de la organización del contenido de la lección de geometría estaría orientado por los siguientes ítemes:

Esenciales

    • El título refleja lo primordial del tema a tratar

    • Las definiciones son presentadas de diversas maneras

    • Los conceptos nuevos se relacionan con los conocimientos previos

    • Presenta ejemplos contextualizados

    • Propone ejercicios contextualizados y abstractos

    • Propone problemas plausibles

    • Formula preguntas que obliguen a la síntesis conceptual y procedimental

    • Formula actividades que propicien la indagación y la curiosidad

Deseables

    • La introducción a la lección genera el entusiasmo necesario como para avanzar en la misma

    • Promueve actividades en grupo, dentro y fuera del aula

    • Propone actividades de autoevaluación

    • Presenta un esquema resumen de lo tratado en la lección

    • Ofrece respuestas y esquemas de resolución a todas las actividades propuestas en la lección

Complementarios

    • Enuncia los logros que se esperan que alcance el estudiante con la lección

    • Presenta un esquema para abordar la lección

    • Muestra la importancia del tópico tratado en la lección desde la historia y la praxis actual

A la luz de los criterios presentados el análisis puede ser enriquecido, pero esperamos que la discusión y ejecución de la propuesta presentada será la que definirá esa ampliación y profundización que se desea en el análisis, para lograr cada vez mejores materiales escritos que redunden en una enseñanza de la Geometría de calidad.

Bibliografía

Corral, A.; Tejero, L.; Lizcano, E.; y Martínez, C. (1 987). Consideraciones acerca de la realización de Textos Didácticos para la Enseñanza a Distancia. Madrid, España: UNED.

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García-Rodeja, I. (1 997). ¿Qué propuestas de actividades hacen los libros de primaria?. Alambique, Didáctica de las Ciencias Experimentales, (11):35-43

González, C. (2 002). El Libro de Texto como material didáctico para la Enseñanza de la Geometría en 7° grado de Educación Básica. Trabajo de Pasantía no publicado, Universidad Nacional Abierta, Caracas.

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Lacueva, A. (1 979). Una mirada crítica a los textos de Ciencias Naturales de primaria. Cuadernos de Educación, (65):51-114

Larios, V. y González, N. (2 002). Uso de la microcomputadora y del doblado de papel en la aplicación del modelo de Van Hiele en la enseñanza de la Geometría Euclidiana en el nivel medio básico. En Línea Disponible http://www.uaq.mx/matematicas/origami/ejerc.html 01/02/02 (download).

Míguez, Á. (2 001, setiembre). Estructuración de dos libros de texto de matemáticas en Educación a Distancia (Caso de estudio: Módulo I de Matemática I de la UNA y Álgebra Elemental del Curso Introductorio de la UNA) Ponencia presentada en la II Jornada de Promoción a la Investigación Científica, Humanística y Tecnológica en la Universidad Nacional Abierta. Caracas.

Parcerisa, A. (1 997). Materiales Curriculares. Cómo elaborarlos, seleccionarlos y usarlos. Barcelona: Graó.